Математическая модель динамики неоднородной популяции с использованием функционала (континуальная форма)
Развитие математической модели активации системы комплемента привело к необходимости распространения модели на гетерогенные популяции. То есть, понадобилось построение математической модели, которая бы учитывала неоднородность распределения признаков по популяции клеток-мишеней. В качестве неоднородно-распределённого признака выбрано количество специфических антигенов, приходящихся на клетку-мишень.
Предположено, что распределение антигенов по популяции соответствует Гамма-распределению. Впоследствии эта гипотеза была подтверждена результатами моделирования.
Функция плотности распределения
Для облегчения формы представления математической модели, описывающей динамику активации системы комплемента, введён следующий функционал:
где: 
- плотность распределения клеток-мишеней по количеству комплексов AgAb, приходящихся на одну клетку-мишень. М – концентрация клеток-мишеней; F(X) – концентрация молекул Х; X(A) – соответствует числу молекул X, приходящихся на клетку-мишень, на мембране которой экспрессировано A комплексов AgAb.
В функционале использована величина Acr, она определяется из условия:
То есть, Acr – соответствует пороговому количеству комплексов AgAb, которое обеспечивает формирование достаточного для лизиса количества MAC. Клетки-мишени с количеством комплексов AgAb большим или равным Acr считаются лизировавшими.
Концентрация “живых” клеток-мишеней определяется следующим образом:
МАСcr - критическое число MAC, при достижении которого происходит лизис клетки-мишени.
Классический путь системы комплемента
1. Убыль концентрации субстрата системы комплемента белка C1:
2. Баланс количества молекул C1-эстеразы, приходящихся на одну клетку-мишень, на мембране которой экспрессировано A комплексов AgAb:
3. Убыль концентрации субстрата системы комплемента белка C4:
4. Баланс количества молекул активного белка C4b, приходящихся на одну клетку-мишень, на мембране которой экспрессировано A комплексов AgAb:
5. Баланс концентрации субстрата системы комплемента белка C2:
6. Баланс количества молекул активного комплекса C4b2, приходящихся на одну клетку-мишень, на мембране которой экспрессировано A комплексов AgAb:
7. Баланс количества молекул активного комплекса C4b2a (классическая C3-конвертаза), приходящихся на одну клетку-мишень, на мембране которой экспрессировано A комплексов AgAb:
8. Баланс количестваактивного комплекса C4b2a3b (классическая C5-конвертаза), приходящихся на одну клетку-мишень, на мембране которой экспрессировано A комплексов AgAb:
9. Баланс концентрации субстрата системы комплемента белка C3:
10. Баланс количества молекул активного белка C3b, приходящихося на одну клетку-мишень, на мембране которой экспрессировано A комплексов AgAb:
Альтернативный путь системы комплемента
11. Баланс количества молекул активного комплекса C3bP, приходящихося на одну клетку-мишень, на мембране которой экспрессировано A комплексов AgAb:
12. Баланс количества молекул активного комплекса C3B, приходящихося на одну клетку-мишень, на мембране которой экспрессировано A комплексов AgAb:
13. Баланс количества молекул активного комплекса C3bBP, приходящихося на одну клетку-мишень, на мембране которой экспрессировано A комплексов AgAb:
14. Баланс количества молекул активного комплекса C3Bb (неустойчивая альтернативная C3-конвертаза), приходящихося на одну клетку-мишень, на мембране которой экспрессировано A комплексов AgAb:
15. Баланс количества молекул активного комплекса C3BbP (устойчивая альтернативная C3-конвертаза), приходящихося на одну клетку-мишень, на мембране которой экспрессировано A комплексов AgAb:
16. Баланс количества молекул активного комплекса C3Bb3b (неустойчивая альтернативная C5-конвертаза), приходящихося на одну клетку-мишень, на мембране которой экспрессировано A комплексов AgAb:
17. Баланс количества молекул активного комплекса C3Bb3bP (устойчивая альтернативная C5-конвертаза), приходящихося на одну клетку-мишень, на мембране которой экспрессировано A комплексов AgAb:
Терминальная стадия системы комплемента
18. Баланс концентрации субстрата системы комплемента белка C5:
19. Баланс концентрации субстрата системы комплемента белка C6:
20. Баланс концентрации субстрата системы комплемента белка C7:
21. Баланс концентрации субстрата системы комплемента белка C8:
22. Баланс концентрации субстрата системы комплемента белка C9:
23. Баланс концентрации субстрата системы комплемента белка фактора B:
24. Баланс концентрации субстрата системы комплемента белка фактора P:
25. Баланс количества молекул активного белка C5b, приходящихося на одну клетку-мишень, на мембране которой экспрессировано A комплексов AgAb:
26. Баланс количества молекул активного комплекса C5b6, приходящихося на одну клетку-мишень, на мембране которой экспрессировано A комплексов AgAb:
27. Баланс количества молекул активного комплекса C5b67, приходящихося на одну клетку-мишень, на мембране которой экспрессировано A комплексов AgAb:
28. Баланс количества молекул активного комплекса C5b678, приходящихося на одну клетку-мишень, на мембране которой экспрессировано A комплексов AgAb:
29. Баланс количества молекул активного комплекса C5b6789(i), приходящихося на одну клетку-мишень, на мембране которой экспрессировано A комплексов AgAb:
Уравнения баланса растворимых ингибиторов системы комплемента
30. Баланс концентрации ингибитора системы комплемента белка C4bp:
31. Баланс концентрации ингибитора системы комплемента белка фактора H:
32. Баланс концентрации ингибитора системы комплемента белка фактора S:
33. Баланс концентрации ингибитора системы комплемента белка Clu (кластерин):
