Модель динамики неоднородной популяции (дискретная форма)
Развитие математической модели активации системы комплемента привело к необходимости распространения модели на гетерогенные популяции. То есть, понадобилось построение системы, которая бы учитывала неоднородность распределения признаков по популяции клеток-мишеней. В качестве неоднородно-распределённого признака выбрано количество специфических комплексов антиген-антитело, приходящихся на клетку-мишень.
Предположено, что распределение комплексов антиген-антитело по популяции соответствует Гамма-распределению. Впоследствии эта гипотеза была подтверждена результатами математического моделирования.
Функция плотности распределения
Функция распределения
Рис. 1. График функции распределения.
Разбиваем популяцию на N частей. Для этого находим решение системы уравнений:
То есть, находим такие точки 
, что вероятность того что, число AgAb на мембране клетки-мишени находится в интервале 
равна 1/N.
Далее, определим следующую величину:
, где M – полная концентрация клеток-мишеней
Эта величина соответствует концентрации клеток-мишеней, число AgAb на мембране которых находится интервале . Будем её называть концентрацией i-ой подпопуляции.
Определим концентрацию Ag, соответствующую i-ой подпопуляции:
, где M – полная концентрация клеток-мишеней
Таким образом, мы определили концентрации свободных комплексов AgAb на начальный момент времени для подпопуляций.
Следует отметить, что
- соответствует общей концентрации AgAb.
По мере накопления MAК подпопуляции начинают умирать, причём раньше умирают те подпопуляции, которым в начальный момент времени соответствовала большая концентрация Ag.
В уравнениях использована величина n. Она определяется следующим образом:
, при условии 
.
То есть, n соответствует максимальному номеру “живой” подпопуляции.
Далее приведена система уравнений, описывающая динамику взаимодействия системы комплемента с гетерогенной популяцией. Система представлена в дискретной форме, что облегчает её понимание при этом не меняя сути. Кроме того, следует помнить, что подпопуляция "выбывает" из модели в момент совпадения количества MAC, приходящихся на одну клетку-мишень подпопуляции, с критическим количеством MAC (MACcr).
Классический путь системы комплемента
1. Убыль субстрата системы комплемента белка C1:
2. Убыль концентрации свободных комплексов AgAb, соответствующей i-ой подпопуляции:
3. Баланс концентрации C1-эстеразы, соответствующей i-ой подпопуляции:
4. Убыль концентрации субстрата системы комплемента белка C4:
5. Баланс концентрации активного белка C4b, соотвтетсвующей i-ой подпопуляции:
6. Баланс субстрата системы комплемента белка C2:
7. Баланс концентрации активного комплекса C4b2, соотвтетсвующей i-ой подпопуляции:
8. Баланс концентрации активного комплекса C4b2a (классическая C3-конвертаза), соотвтетсвующей i-ой подпопуляции:
9. Баланс концентрации активного комплекса C4b2a3b (классическая C5-конвертаза), соотвтетсвующей i-ой подпопуляции:
10. Баланс субстрата системы комплемента белка C3:
11. Баланс концентрации активного белка C3b, соотвтетсвующей i-ой подпопуляции:
Альтернативный путь системы комплемента
12. Баланс концентрации активного комплекса C3bP, соотвтетсвующей i-ой подпопуляции:
13. Баланс концентрации активного комплекса C3bB, соотвтетсвующей i-ой подпопуляции:
14. Баланс концентрации активного комплекса C3bBP, соотвтетсвующей i-ой подпопуляции:
15. Баланс концентрации активного комплекса C3bBb (неустойчивая альтернативная C3-конвертаза), соотвтетсвующей i-ой подпопуляции:
16. Баланс концентрации активного комплекса C3bBbP (устойчивая альтернативная C3-конвертаза), соотвтетсвующей i-ой подпопуляции:
17. Баланс концентрации активного комплекса C3bBb3b (неустойчивая альтернативная C5-конвертаза), соотвтетсвующей i-ой подпопуляции:
18. Баланс концентрации активного комплекса C3bBb3bP (устойчивая альтернативная C5-конвертаза), соотвтетсвующей i-ой подпопуляции:
Уравнения баланса субстратов системы комплемента
19. Баланс субстрата системы комплемента белка C5:
20. Баланс субстрата системы комплемента белка C6:
21. Баланс субстрата системы комплемента белка C7:
22. Баланс субстрата системы комплемента белка C8:
23. Баланс субстрата системы комплемента белка C9:
24. Баланс субстрата системы комплемента фактора B:
25. Баланс субстрата системы комплемента фактора P (пропердин):
Терминальная часть
26. Баланс концентрации активного белка C3b, соотвтетсвующей i-ой подпопуляции:
27. Баланс концентрации активного комплекса C5b6, соотвтетсвующей i-ой подпопуляции:
28. Баланс концентрации активного комплекса C5b67, соотвтетсвующей i-ой подпопуляции:
29. Баланс концентрации активного комплекса C5b678, соотвтетсвующей i-ой подпопуляции:
30. Баланс концентрации активного комплекса C5b6789(t), соотвтетсвующей i-ой подпопуляции:
Уравнения баланса растворимых ингибиторов системы комплемента
31. Баланс ингибитора системы комплемента белка C4bp:
32. Баланс ингибитора системы комплемента белка фактора H:
33. Баланс ингибитора системы комплемента белка фактора S:
34. Баланс ингибитора системы комплемента белка Clu:
Коротаевский Андрей