Модель динамики неоднородной популяции (дискретная форма)

Развитие математической модели активации системы комплемента привело к необходимости распространения модели на гетерогенные популяции. То есть, понадобилось построение системы, которая бы учитывала неоднородность распределения признаков по популяции клеток-мишеней. В качестве неоднородно-распределённого признака выбрано количество специфических комплексов антиген-антитело, приходящихся на клетку-мишень.
Предположено, что распределение комплексов антиген-антитело по популяции соответствует Гамма-распределению. Впоследствии эта гипотеза была подтверждена результатами математического моделирования.  
Функция плотности распределения

Функция распределения

Рис. 1. График функции распределения.

Разбиваем популяцию на N частей. Для этого находим решение системы уравнений:

То есть, находим такие точки , что вероятность того что, число AgAb на мембране клетки-мишени находится в интервале  равна 1/N.
Далее, определим следующую величину:
, где M – полная концентрация клеток-мишеней
Эта величина соответствует концентрации клеток-мишеней, число AgAb на мембране которых находится интервале .  Будем её называть концентрацией i-ой подпопуляции.
Определим концентрацию Ag, соответствующую i-ой подпопуляции:

, где M – полная концентрация клеток-мишеней
Таким образом, мы определили концентрации свободных комплексов AgAb на начальный момент времени для подпопуляций.

Следует отметить, что
- соответствует общей концентрации AgAb.

По мере накопления MAК подпопуляции начинают умирать, причём раньше умирают те подпопуляции, которым в начальный момент времени соответствовала большая концентрация Ag.

В уравнениях использована величина n. Она определяется следующим образом:
, при условии .

То есть, n соответствует максимальному номеру “живой” подпопуляции.

Далее приведена система уравнений, описывающая динамику взаимодействия системы комплемента с гетерогенной популяцией. Система представлена в дискретной форме, что облегчает её понимание при этом не меняя сути. Кроме того, следует помнить, что подпопуляция "выбывает" из модели в момент совпадения количества MAC, приходящихся на одну клетку-мишень подпопуляции, с критическим количеством MAC (MACcr).

 

Классический путь системы комплемента

1. Убыль субстрата системы комплемента белка C1:

2. Убыль концентрации свободных комплексов AgAb, соответствующей i-ой подпопуляции:

3. Баланс концентрации C1-эстеразы, соответствующей i-ой подпопуляции:

4. Убыль концентрации субстрата системы комплемента белка C4:

5. Баланс концентрации активного белка C4b, соотвтетсвующей i-ой подпопуляции:

6. Баланс субстрата системы комплемента белка C2:

7. Баланс концентрации активного комплекса C4b2, соотвтетсвующей i-ой подпопуляции:

8. Баланс концентрации активного комплекса C4b2a (классическая C3-конвертаза), соотвтетсвующей i-ой подпопуляции:

9. Баланс концентрации активного комплекса C4b2a3b (классическая C5-конвертаза), соотвтетсвующей i-ой подпопуляции:

10. Баланс субстрата системы комплемента белка C3:

11. Баланс концентрации активного белка C3b, соотвтетсвующей i-ой подпопуляции:

 

Альтернативный путь системы комплемента

12. Баланс концентрации активного комплекса C3bP, соотвтетсвующей i-ой подпопуляции:

13. Баланс концентрации активного комплекса C3bB, соотвтетсвующей i-ой подпопуляции:

14. Баланс концентрации активного комплекса C3bBP, соотвтетсвующей i-ой подпопуляции:

15. Баланс концентрации активного комплекса C3bBb (неустойчивая альтернативная C3-конвертаза), соотвтетсвующей i-ой подпопуляции:

16. Баланс концентрации активного комплекса C3bBbP (устойчивая альтернативная C3-конвертаза), соотвтетсвующей i-ой подпопуляции:

17. Баланс концентрации активного комплекса C3bBb3b (неустойчивая альтернативная C5-конвертаза), соотвтетсвующей i-ой подпопуляции:

18. Баланс концентрации активного комплекса C3bBb3bP (устойчивая альтернативная C5-конвертаза), соотвтетсвующей i-ой подпопуляции:

 

Уравнения баланса субстратов системы комплемента

19. Баланс субстрата системы комплемента белка C5:

20. Баланс субстрата системы комплемента белка C6:

21. Баланс субстрата системы комплемента белка C7:

22. Баланс субстрата системы комплемента белка C8:

23. Баланс субстрата системы комплемента белка C9:

24. Баланс субстрата системы комплемента фактора B:

25. Баланс субстрата системы комплемента фактора P (пропердин):

 

Терминальная часть

26. Баланс концентрации активного белка C3b, соотвтетсвующей i-ой подпопуляции:

27. Баланс концентрации активного комплекса C5b6, соотвтетсвующей i-ой подпопуляции:

28. Баланс концентрации активного комплекса C5b67, соотвтетсвующей i-ой подпопуляции:

29. Баланс концентрации активного комплекса C5b678, соотвтетсвующей i-ой подпопуляции:

30. Баланс концентрации активного комплекса C5b6789(t), соотвтетсвующей i-ой подпопуляции:

 

Уравнения баланса растворимых ингибиторов системы комплемента

31. Баланс ингибитора системы комплемента белка C4bp:

32. Баланс ингибитора системы комплемента белка фактора H:

33. Баланс ингибитора системы комплемента белка фактора S:

34. Баланс ингибитора системы комплемента белка Clu:

Коротаевский Андрей








Rambler's Top100 Рейтинг@Mail.ru

mdls.ru © 2008-2013

НОВОСТИ
03.04.2014
Проект "ЧПУ на Ардуино" перенесён на ecnc.ru
Открытый проект "Простой станок с ЧПУ на Ардуино" перенесён на http://ecnc.ru
25.01.2013
Опубликован сайт "Частный переводчик"
Частный переводчик поможет провести переговоры, осуществит последовательный, синхронный, письменный переводы. http://tran.mdls.ru
25.01.2013
Начата раработка открытого проекта "Станок с ЧПУ"
Как сделать простой станок с ЧПУ на базе Arduino стоимостью менее 100$ своими руками. http://cnc.mdls.ru.
25.10.2011
"Юристы помогают" перенесён на lawshelp.ru
Проведена смена домена urist.mdls.ru на lawshelp.ru. Теперь обсудить задачи из любых отраслей Права можно на сайте www.lawshelp.ru